INFINITO IN OGNI DIREZIONE

diGiuseppe Vatinno
fisico e giornalista
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INTRODUZIONE
Riprendo il titolo di un famoso libro del fisico americano Freeman J. Dyson (n. 1923), “Infinito in ogni direzione” , per sintetizzare efficacemente la conclusione, su basi cosmologiche , topologiche e logiche (evitare la regressio ad infinitum) di questo lavoro e cioè che l’ Universonello spazio e nel tempo (inteso nella sua dimensione generalizzata includente un vuoto quantico pre –esistente al Big – Bang), non può che essere infinito.
LO ZERO IN MATEMATICA
Il “nulla” in matematica è rappresentato formalmente dal numero “zero”. Questo simbolo è comunque “speciale” e pur facendo parte dell’insieme dei numeri detti “Naturali”, cioè della sequenza ( …,-N…-2, -1, 0, 1, 2,…N…) rappresenta qualcosa di diverso rispetto agli altri, rappresenta infatti l’ “assenza” del numero stesso . La storia della matematica, analizzando reperti e documenti antichissimi, ci ha portato a ritenere che lo zero non sia stato incluso nei primi sistemi di numerazione. Infatti, il primo sistema di numerazione accertato, quello sumero di circa 5.000 anni fa, inizialmente non aveva lo zero ed era quindi di tipo “non posizionale”; solo successivamente, fu introdotto lo zero per facilitare i conti e semplificare la scrittura di numeri grandi  passando ad un “sistema posizionale” (come  quello modrnamente utilizzato) in cui il valore di tale numero dipende, appunto, dalla posizione che occupa nella cifra stessa potendo rappresentare, ad esempio nel sistema decimale, in una cifra composta da tre numeri, le “centinaia”, le “decine” e le “unità”.
Per capire questo concetto consideriamo, ad esempio, la cifra “404”.
Indicando con il simbolo “^” l’operazione di elevazione a potenza, possiamo scrivere, facendone uno sviluppo in potenze della base 10:
404 = 4X10^2 + 0X10^1 + 4^10^0 = 400 + 0 + 4
che è diverso da
44 = 4X10^1 + 4X10^0 = 40 + 4
Se non utilizzassimo lo zero-e quindi il sistema posizionale-,“404” e “44” sarebbero lo stesso numero.
I Sumeri utilizzavano sia la “base 10” che la “base 60” per esprimere le cifre (una traccia di questo è rimasta attualmente nel nostro conteggio dei 12 mesi e dei 360 gradi di un angolo giro).
Contrariamente ai Sumeri, i Greci ed i Romani non utilizzavano lozero e avevano sistemi non posizionali (oltretutto i numeri venivano indicati da combinazioni delle lettere dell’alfabeto) in cui rappresentare numeri grandi e fare i calcoli era difficilissimo.
Il sistema posizionale fu introdotto inEuropa, importato dal modello arabo, solo da Leonardo Pisano (1170 – 1240) meglio conosciuto come Leonardo Fibonacci, nel XII secolo.
L’INFINITO IN MATEMATICA
L’infinito, indicato con il simbolo ∞, ha avuto una storia completamente diversa e pur rappresentando, in un certo senso, l’“altra faccia della medaglia” nel suo rapporto diadico con lo zero , è stato a lungo osteggiato dai matematici che erano molto perplessi sul suo utilizzo, date le particolari proprietà completamente differenti rispetto agli altri “numeri”.
I greci se ne tennero, tranne rare eccezioni, sempre a distanza e lo bandirono, per quanto poterono, dai loro ragionamenti geometrici .
Aristotele (ca. 383 – 322 a. C.) ed Euclide (323 – 285 a.C.), ad esempio, ammettevono che esistesse un “infinito potenziale”, ma che non potesse esistere un “infinito attuale”.Archimede (287 – 212 a.C.), utilizza il concetto di infinito quando con il procedimento detto di esaustione calcola il valore di π, cioè il rapporto tra circonferenza  e diametro, approssimando il cerchio con poligoni inscritti e circoscritti di infiniti lati, ma mai utilizza esplicitamente il termine “infinito”.
Per ritrovarlo, insieme agli “infinitesimi”, dobbiamo attendere la nascita del calcolo differenziale e integrale di Gottfried Leinbitz (1646 – 1716) e Newton (1642 -1727), nel XVII secolo; tuttavia, per dare formale cittadinanza nell’ambito della matematica rigorosa occorrerà il concetto di “limite” di Karl Weierstrass (1815 – 1897) e Augustin L. Cauchy (1789 – 1857) nel XIX secolo, mentre gli infinitesimi troveranno appartenenza alla rispettabilità matematica solo con l’“analisi non standard” di Abraham Robinson (1918 – 1974) negli anni ’60 del XX secolo che leggittimò, se così si può dire, l’utilizzo alquanto disinvolto che ne avevano fatto Newton e Leibnitz.
In ogni caso, nel XIX e XX secolo, l’infinito, nella sua forma in “atto” e non solo “potenziale” dei greci,è accettato nella matematica ed anzi si cerca di indagarne le proprietà. Ad esempio, tutti gli infiniti sono uguali? Già si sapeva che c’erano dei problemi con questi concetti comparativi tra classi infinite e sorgevano spesso paradossi inquesto campo.
Già il filosofo Giovanni Duns Scoto (1265 – 1308), nel XIII secolo ed anche Galileo Galilei (1564 -1642) nel XVII, avevano capito che quando si ha a che fare con l’infinito il “tutto” può esser euguale alla “parte”; ad esempio, l’insieme dei numeri naturali (il “tutto”) può essere messo incorrispondenza biunivoca con i quadrati dei numeri naturali (una “parte”)  ed entrambi sono infiniti.
Percapire cosa succedeva ci vollero però  i lavori di Bernard Bolzano (1741 – 1848), Julius Dedekind (1831 -1916) e soprattutto Georg Cantor (1845 – 1918). Quest’ultimo dimostrò che non tutti gli infiniti sono uguali ed anzi ognuno di essi ha una sua dimensione, detta “cardinalità” (tali numeri “cardinali”, insieme agli “ordinali”, sono chiamati transfiniti), che può esseredifferente e che indicò con la prima lettera dell’alfabeto ebraico, l’Aleph. Ad esempio i numeri naturali ed i razionali (rapporti tra naturali) sono della stessagrandezza di infinito indicata con il simbolo aleph_0,Aleph0, mentre i numeri reali, anch’essi infiniti, hanno una “dimensione” maggiore (e questo è intuitivo visto che contengono i Naturali) e la loro cardinalitàèaleph_1,Aleph1. Cantor poi giunse ad una ipotesi, detta “ipotesi del continuo”, in  cui cerca di dimostrare che tra Aleph0, la cardinalità dei numeri Interi e Razionali e 2^Aleph0, cioè la cardinalità dei numeri Reali, non c’erano altrecardinalità di infinito.
In formula l’ ipotesi del continuo è:^{\aleph_0} = \aleph_1. \,

^{\aleph_0} = \aleph_1. \,

Oppure, l’ “ipotesi generalizzata” del continuo:

 

^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+1}.

 

 Tuttavia, nonostante i suoi sforzi, non vi riuscì mai e questo fu spiegato solo dal logico Kurt Gödel (1906 – 1978), neglianni ’30 del XX secolo e successivamente da Paul Kohn (1934 – 2007) che dimostrarono che l’ipotesi del continuo èformalmente “indecidibile”, cioè non si può dimostarre né vera né falsa nella teoria degli insiemi di Zermelo -Fraenkel e quindi può essere assunta come postulato, senza contraddizioni, dando luogo aduna intera nuova branca matematica della teoria degli insieme un po’ come era successo con la “scoperta” che il V postulato di Euclide sulle parallele non era dimostrabile e quindi la sua negazione ha dato luogo alle cosiddette geometrie non euclidee che tanto ruoloavranno poi nella formulazione della Relatività Generale di Einstein.

LO ZERO E L’INFINITO IN COSMOLOGIA
Adesso vogliamo brevemente trattare questi concetti in cosmologia e far vedere che  il rapporto tra zero ed infinito non è “simmetrico” ed è molto più complesso di quanto si potrebbe, ad un’analisi superficiale, supporre.
Tralasciamo tutta la storia della cosmologia, in specie greca, per giungere al nucleo del problema. Un paradosso fu subito evidente quando nei modelli antichi, che prevedevano un centro (occupato in genere dalla Terra, ma qualche volta anche dal Sole ) ed un bordo   delle sfere concentriche di “cieli” che contenevano  la luna, i pianeti e le stesse fisse. Il problema principale, scoperto già da Archita di Taranto nel V secolo a. C., era quello meglio noto della della “lancia”. E cioè: una volta giunti all’estremo limite dell’ultima sfera, cioè alla  sua parete, si poteva lanciare una lancia oltre tale limite? Cosa sarebbe successo?
Il supporre sempre successive “sfere” concetriche porta a quella che in filosofia si chiama regressio ad infinitum, in cui si giunge comunque ad una “causaprima increata” che pone il problema della propria origine.
Leipotesi erano diverse ed andavano da una “frontiera mobile” ch egenrasse nuovo spazio alla lancia  a quella di un”bordo graduale” che tramutasse la materia da “fisica” a“spirituale”, ma tutti, prima o poi, si imbattevano in un paradosso e cioè non poteva esistere un mondo “finito” circondato da qualcosa di infinito, cioè il problema già visto.
La disputa tra “finitisti” ed “infinitisti” (spaziali) continuò per tutto i lmedioevo ed anche oltre.Tra gli "infinitisti" ricordiamo: Atomisti, ionici,Lucrezio,Cusano, Bruno, Cartesio, Newton, Kant, Einstein, de Sitter, inflazionisti; tra i "finitisti" abbiamo: Aristotele, Tolomeo, Dante, Copernico, Keplero, Riemann, di nuovo Einstein, Fridman, Lemaitre.
Questa constatazione pemane sostanzialmente anche ai nostri giorni, sebbene la teoria della Relatività generale e la topologia cosmologica ci dicano che possano esistere “cosmi” finiti (o infiniti) senza alcun  bordo e quindi che tutto lo “spazio” sia racchiuso nel cosmostesso e non ci sia null’ “altro” (vuoto?) in cui espandersi e che anzi non abbia senso chiedersi i n”cosa” si espanda l’universo.
Se accreditiamo il modello del Big Bang come valido, e cioè l’immane esplosione avvenuta circa 13,5 miliardi di anni fa, che ha dato l’origine al cosmo, possiamo anche pensare ad una fase pre – Big Bang, in cui una fluttuazione quantistica del vuoto o uno scontro tra “brane” (una sorta di membrane ) ha dato l’origine all’ esplosione.
Nel caso della fluttuazione del vuoto, in ogni caso lo spazio totale sarebbe infinito come in definitiva per le brane.
Per quanto riguarda poi il concetto di tempo, esso formalmente nasce con ilBig – Bang 13,5 miliardi di anni fa, ma essendo sempre esistito lo spazio quantistico, anch’ esso è infinito.

Molto probabilmente dunque, alla luce della Relatività Generale, l’ Universo materiale è una “bolla” o “varietà topologica” presumibilmente finita (ma potrebbe essere infinita) in “espansione” nel “nulla” vero e proprio, non avendo un confine geometrico, e non nel vuoto quantico ed è nato da una fluttuazione quantica del vuoto comunque infinito oppure (ipotesi più debole) è una “bolla” presumibilmente finita(o infinita) che si espande nel vuoto quantico, sempre infinito.
BIBLIOGRAFIA
Kaplan , R., Zero Storia di una cifra, Rizzoli, Milano, 1999.
Luminet, J.P., Lachièze-Rey, Finito o infinito? Limiti ed enigmi dell’Universo, Raffaello Cortina Editore, Milano, 2006.

Infinito in ogni direzioneRizzoli, Milano, 1989.

Ad essere rigorosi, l’insieme dei numeri Naturali contiene sia lo zero che i numeri interi negativi, oltre che quelli positivi. Anche i numeri negativi sono “particolari” e non immediatamente riconducibili all’esperienza empirica. Quindi l’insieme dei Naturali contiene tre tipologie di numeri: gli interi negativi, lo zero e gli interi positivi.

L’utilizzo di una determinata base dipende, in genere, dall’utilità; ad esempio, i computer utilizzano la base 2 perché “contano” su soli due stati: acceso”spento, mentre gli esseri umani utilizzano preferibilmente la base 10 probabilmente a causa dell’origine del contare con le mani oppure, nel caso dei Sumeri,  la base 60 o la base 12, fino a poco tempo fa in vigore in Ignhilterra per il sistema monetario, in virtù del maggiore numero di divisori.

Si ricordi, ad esempio, che a/0 =   ∞, se a è diverso da 0.

Ricordo che per gli  antichi Greci la matematica coincideva, i npratica, con la geometria.

La prima teoria eliocentrica fu di Aristarco di Samo (310 – 230 a.C. ca.).

L’ Universo non solo si espande in conformità al modello del Big - Bang, ma la sua velocità aumenta, come si è  dedotto per la prima volta nel 1998, a causa della cosiddetta Energia Oscura che rappresenta il 75% dell’energia totale. Se tale accelerazione continuasse l’Universo potrebbe letetralmente separarsi, fra circa 21 miliardi di anni, in tutte le sue particelle elementari sparpagliate le une lontano dalle altre (Ipoteds del Big - Rip, o Grande - Strappo).

Alcune considerazione di topologia su varietà possono portare al concetto di “varietà” o Universo, finita o infinita, senza alcun bordo e quindi verrebbe meno il concetto stesso di “espansione” in “qualcosa”.

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