GEOMETRIA E FISICA

di Giuseppe Vatinno
giornalista, già Deputato

IMGNell'immagine i tre tipi di geometrie possibili: ellittica, iperbolica e piatta
E’ molto interessante seguire la vicenda della nascita delle cosiddette “geometrie non-euclidee” perché segna il passaggio ad una diversa visione del mondo, anche in matematica. La geometria “classica” è nata nell’antica Grecia grazie ai lavori di Aristotele (ne “Gli analitici posteriori”) ed Euclide (ne “Gli Elementi”) e per circa 2000 anni è rimasta immutata fin quando i matematici del XIX secolo non si accorsero che il V Postulato contenuto negli “Elementi” di Euclide poteva essere negato senza che ciò producesse contraddizioni logiche nelle nuove geometrie che così si generavano.Il primo a realizzare questa ipotesi fu il matematico Carl Friedrich Gauss che temendo le "grida dei beoti" (presenti in gran numero anche in quei tempi) non la rese nota. Questo postulato afferma l’unicità della retta parallela ad un’altra e passante per un punto dato.Negandolo ci possono essere più  parallele o nessuna. Il matematico David Hilbert  cercò di assiomatizzare (con 21 preposizioni) la geometria (Grundlagender Geometrie ,“Fondamenti della Geometria”, 1899) e, in verità, il suo programma era quello di assiomatizzare tutte le scienze, a cominciare dalla fisica. Per quanto riguarda la geometria e più in generale l’aritmetica Hilbert si trovò smentito dai lavori del logico austriaco Kurt Gödel che con i suoi “teoremi di incompletezza” dimostrò che ciò non era possibile poiché anche in un sistema “semplice” come l’aritmetica elementare esisterà sempre almeno una proposizione (teorema) vero, ma non dimostrabile. Ma quale geometria è dunque quella “reale”? Grazie alla Teoria della Relatività Generale di Albert Einstein, possiamo dire che la “geometria” comunemente intesa è solo una branca della fisica e non della matematica.Infatti, lo spazio-tempo quadridimensionale del nostro universo (tre dimensioni spaziali ed una temporale) è deformato dai corpi (galassie, stelle, pianeti) e quindi la geometria dipende, in definitiva, dalla massa o meglio dalla densità dell’ intero universo. Più tecnicamente da un parametro e cioè dalla sua “curvatura”. Poiché l’universo pare (dalle osservazioni del satellite Planck) essere quasi “piatto” o leggermente a curvatura negativa possiamo dire che la sua geometria su vasta scala è quasi – euclidea o leggermente ellittica. Infatti possono esistere solo tre tipi di geometrie a curvatura costante: quella a curvatura negativa (o iperbolica ideata da NikolaiLobachevski e JánosBolyai, che contiene infinite parallele; l’universo si espanderà indefinitamente), nulla (Euclide, 1 sola parallela; l’universo si espanderà per sempre a velocità tendente a zero) o positiva (o ellittica ideata da Bernhard Riemann che non possiede parallele; l’universo collasserà su se stesso). La probabilità che sia proprio quella nulla (euclidea) è molto minore rispetto a quelle a curvatura positiva o negativa. In ogni caso esiste solo una geometria “vera” nel mondo fisico e le altre due possibili sono “errate”. Tuttavia non sappiamo ancora quale sia.E quelle “errate” a cosa servono? Diciamo che sono esplorazioni di strutture logico-matematiche alternative che però non corrispondono al mondo reale.



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