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INTRODUZIONE

Fig. 1 Solitoni tridimensionali.

I solitoni o onde solitarie sono onde (a volte trattate anche come particelle) caratterizzate da un equilibrio tra gli effetti non lineari e quelli dispersivi(1) . Che si compensano esattamente.Essi emergono come soluzioni esatte di certe classi di equazioni (o di sistemi) alle derivate parziali, non lineari di evoluzione. La prima descrizione di un solitone è quella fornita dall'ingegnere britannico J. Scott Russell (1808 – 1882) che lo vide risalire l'Union Canal(lungo circa 51 Km in Scozia).

Fig. 2 Una immagine dell' "Union Canal".

Riportiamo il brano originale(2):
"Stavo osservando il moto di un battello che veniva trainato rapidamente lungo uno stretto canale da un paio di cavalli, quando il battello improvvisamente si fermò; non altrettanto fece la massa d'acqua del canale che esso aveva messo in moto; essa si accumulò attorno alla prua del battello in uno stato di violenta agitazione, dopo di che mosse in avanti con grande velocità, assumendo la forma di una grande solitaria elevazione, un cumulo d'acqua arrotondato e ben definito che continuò la sua corsa lungo il canale, apparentemente senza mutamento di forma o riduzione di velocità. La seguii a cavallo lungo la sponda del canale e la superai mentre stava ancora procedendo ad una velocità di otto o nove miglia all'ora [14 km/h], ancora conservando il suo aspetto originario di circa trenta piedi di lunghezza [9 m] e un piede e mezzo (300-450 mm] in altezza. La sua altezza diminuì gradualmente e dopo un inseguimento di un miglio o due (2-3 km) la persi nei meandri del canale. Questo, nel mese di agosto del 1834, fu il mio primo casuale incontro con quel fenomeno bello e singolare che ho chiamato "Onda di traslazione".
In natura vi sono molti esempi di onde solitarie; oltre l'esempio idrodinamico descritto da Russell i solitoni sono tipici dell'ottica non lineare, di fenomeni atmosferici, geologici, delle telecomunicazioni, ma sono stati anche osservati nella descrizione matematica della propagazione di malattie.
I solitoni hanno specifiche proprietà dovute, come detto, all'equilibrio tra le due componenti non lineare (che tende a "concentrare" la forma d'onda) e dispersiva (che tende a "disfare" la forma d'onda). La prima è quindi che un solitone trasla senza quasi cambiare forma; un'altra proprietà assai interessante è poi in un urto tra due solitoni essi emergono identici, a meno di uno spostamento di fase (cioè un ritardo temporale) nelle onde che li descrivono matematicamente; cioè il loro urto è sempre elastico. Inoltre, la loro velocità è proporzionale sia all'altezza che alla larghezza, in pratica alla forma (shape) dell'onda stessa.Come detto i solitoni sono soluzioni esatte di certe classi di equazioni differenziali alle derivate parziali no n lineari; tra le più note ci sono: l'equazione Korteweg –de Vries (KdV) e le sue varianti (KdV regolarizzata, transazionale, cilindrica, sferica, modificata), l'equazione di Benjamin-Ono, l'equazione di Boussinesq, l'equazione di Burgers, l'equazione di Schrödingernon lineare, l'equazione del Boomerone (che presenta solitoni che non si muovono a velocità costante come nella KdV), l'equazione sine-Gordon, l'equazione di campo chirale, l'equazione ridotta di campo di Einstein e quella che regola i sistemi caotici di Fermi-Pasta-Ulam. Soffermiamoci su alcune di queste equazioni partendo dalla più nota e cioè l' equazione KdV.

Fig. 3 L'ingegnere britannico John Scott Russell

L'EQUAZIONE KDV
L'equazione di Korteweg - de Vries(3) fu scritta nel 1895 nel contesto della fluidodinamica ed è stata applicata anche nella fisica dei plasmi.Essa descrive la propagazione di onde in un canale rettangolare poco profondo (rispetto alla lunghezza del canale stesso) e cioè proprio il caso di quello in cui più di 60 anni prima Russell aveva visto la creazione dell'onda solitaria. C'è da dire che in questo lasso di tempo ci furono molte discussioni teoriche per cercare di interpretare il fenomeno registrato dall'ingegnere britannico e si metteva in dubbio che i solitoni potessero esistere realmente. La KdV dimostrò che i solitoni potevano esistere. Tuttavia, nel 1895 non c'erano strumenti matematici adeguati alla suo studio e così la KdV non venne considerata per molti anni e fu solo agli inizi degli anni '60 del XX secolo che fu riconsiderata in idrodinamica (dove era nata) e in Fisica dei plasmi e per il paradosso di Fermi-Pasta-Ulam. I primi calcolatori permisero di studiarenumericamente una catena unidimensionale di oscillatori accoppiati con i primi vicini in modo non lineare (quadrato o cubico).Sulla base dei principi della meccanica statistica ci si attendeva una progressiva stocasticizzazione del moto con apparizioni di frequenze sempre più elevate ed una diffusione dell'energia su tali frequenze (Principio di Equipartizione dell'Energia).La simulazione invece mostrava che se si partiva con una configurazione iniziale con l'energia concentrata nel modo normale più basso essa tendevaagli altri modi normali in tempi brevi, ma poi si mostrava una inattesa ricorrenza in cui l'energia era nuovamente concentrata quasi completamente nel modo iniziale.Nel tentativo di risolvere questo problema Martin Kruskal fu ricondotto allo studio della KdV che rappresentava una approssimazione continua della catena di oscillatori di Fermi, Pasta, Ulam. 

La cui soluzione solitonica è:

Nella (1) si può osservare l’equilibrio tre il termine dispersivo (dovuto alla derivata terza) e quello non lineare. Dovuto al prodotto tra la funzione stessa e la sua derivata Si noti che esistono anche altri tipi di soluzioni della (1) che nonsono solitoniche.

L’EQUAZIONE DI BENJAMIN-ONO (BO)

Dove H è la trasformata di Hilbert. L’equazione BO è piuttosto una equazione integro- differenziale ed è stata introdotta per descrivere le onde interne in un fluido stratificato di  profondità finita.

L’EQUAZIONE DI BURGERS

Si può considerare una riduzione mono-dimensionale delle equazioni di Navier-Stokes ed è stata scritta per la prima volta nel 1950.

L’EQUAZIONE DI Schrödinger NON LINEARE

Questa equazione ha diverse applicazioni ad esempio nella fisica del plasma dove rappresentala propagazione di onde circolarmente polarizzate di Alfvén o di onde a radio-frequenze e, più in generale, descrive l’evoluzione temporale dell’inviluppo di un’onda quasi monocromatica di piccola ampiezza in un mezzo non lineare e debolmente dispersivo.

L’EQUAZIONE DI HIROTA

Questa equazione per a=c=d=0 e b=-1 ed η=+-1 diviene  la (5) e cioè l’equazione di Schrödinger non lineare ( se u è reale diviene una KdV modificata)

L’EQUAZIONE SINE-GORDON (SG)

L’ equazione SG si presenta in diversi campi, dalla geometria differenziale all’ottica non lineare dove dà conto del fenomeno della trasparenza autoindotta, alla superconduttività. Inoltre essa è stata studiata come modello di una teoria di campo (sia classica che quantistica) grazie alla sua invarianza relativistica.

I SISTEMI DI EQUAZIONI NON LINEARI ALLE DERIVATE PARZIALI, LA "TRASFORMATA SPETTRALE" E IL "METODO DELL'ACCOPPIAMENTO"
La fisica-matematica è stata dominata da due grandi tipi di equazioni differenziali; quella di Newton della dinamica che è una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine (che è difficile risolvere esattamente nel caso generale) e le equazioni differenziali alle derivate parziali come l'equazione delle onde o del calore (ancor più difficili da risolvere).I sistemi di equazioni differenziali possono poi essere sia ordinari che alle derivate parziali e la loro difficoltà di risoluzione aumenta esponenzialmente nel caso non-lineare (in pratica è possibile risolvere solo casi molto particolari; a questo proposito l'esempio più calzante è quello delle equazioni di campo di Einstein in Relatività Generale). La difficoltà di risolvere esattamente tali sistemi ha portato a sviluppare metodi specifici.Il metodo standard di risoluzione delle equazioni differenziali alle derivate parziali lineari a coefficienti costanti è quello della Trasformata di Fourier (TdF).La generalizzazione non lineare della TdF è la Trasformata Spettrale (TS)(5) .Si è trovano infattidiverse classi di equazioni di evoluzioni non lineari alle derivate parziali che si sanno risolvere esattamente con la TS. La più semplice equazione di una certa classe è proprio l'equazione KdV. A questo punto è possibile estendere la tecnica della TS ai sistemi di N^2 equazioni differenziali non lineari alla derivate parziali e determinare poi un sotto-sistema di di M<N^2 di taliequazioni e ciò equivale a richiedere la compatibilità temporale delle variabili dipendenti ridotte da N^2 a M. Dunque si tratta di una sorta di problema di retro-ingegneria analitica in cui si conoscono le soluzioni (accoppiate) e si vogliono trovare le equazioni differenziali alle derivate parziali di origine.
Ad esempio(6) , si può scrivere una "KdV matriciale" fatta da N^2 equazioni KdV accoppiate.Nella mia tesi di laurea(7) mediante l'originale "metodo dell'accoppiamento"(8) , nel caso 2X2(9) , sono pervenuto ad una riduzione a sole due equazioni KdV accoppiate a cui erano state imposte le due soluzioni solitoniche, anch'esse accoppiate. Le equazioni risultano legate da una "costante di accoppiamento" che nel limite in cui tende a zero restituisce due KdV disaccoppiate. Associate ad esse ci sono poi infinite quantità conservate. Si nota poi che , con una ulteriore riduzione si ottiene una nuova equazione KdV modificata altamente non lineare.Tale metodo è poi stato usato nella ricerca per accoppiare casi di dimensionalità più elevata, come il 3X3.

Fig. 4 Le due KdV accoppiate sono le equazioni (32) della pagine riportata.Si noti che quando il parametro di accoppiamento g va a zero le due KdV si disaccoppiano completamente.

Fig. 5 La nuova equazione KdV altamente non lineare modificata che si ottiene dall' ulteriore riduzione.

CAMPI APPLICATIVI
Come detto, il campo in cui i solitoni trovano maggiori applicazioni è quello dell'ottica non lineare e specificatamente quello delle fibre ottiche dove le equazioni di Maxwell in coordinate cilindriche divengono equazioni di non lineari accoppiate di Schrödinger (prendendo il nome di sistemi di Manakov). In fisica teorica sistemi di solitoni sono utilizzati come soluzioni delle equazioni di Born-Infeld e in Ferromagnetismo i solitoni sono soluzioni delle equazioni di Landau-Lifschitz e del modello (continuo) di Heisenberg .In biologia sono utilizzati per descrivere il comportamento di Proteine e Dna; in neurologia sono soluzioni delle equazioni di trasmissione dei segnali neuronali.

BIBLIOGRAFIA
Bais S., Equazioni.Le icone del sapere, edizioni Dedalo, Bari, 2009.
Calogero F., Degasperis A., Specral Transform and Solitons I, Noth-Holland, Amsterdam, 1982.
Vatinno G., Riduzione di sistemi di equazioni di evoluzione, alle derivate parziali, non lineari, con il metodo della trasformata spettrale, Tesi di laurea, Facoltà di Fisica de La Sapienza, Roma, 1986.

 

1) Gli effetti dispersivi sono dovuti al variare della velocità delle onde al variare della loro frequenza.
2) J. Scott Russell. Report on waves, Fourteenth meeting of the British Association for the Advancement of Science, 1844. 
3) Diederik Kortoweg (1848-1941) era un fisico-matematico dell'Università di Amsterdam e fu allievo di Jhoannes Diederick Van der Waals (1837-1923); Gustav De Vries (1866-1934) fu suo allievo (poi insegnante nelle superiori) e proprio nella sua tesi di dottorato scrisse la famosa equazione. La tesi aveva il titolo: Bijdrage tot de kennis der lange golven, ("Contributo alla conoscenza delle onde lunghe").
5) Tecnicamente, l'utilizzo della TS per solitoni nel "problema diretto" porta a risolvere una equazione (lineare) di Schrödinger con un certo "potenziale" mentre nel "problema inverso" occorre risolvere l'equazione integrale lineare di Gel'fand-Levitan-Marchenko GLM (imponendo che il coefficiente di riflessione sia nullo).Tale tecnica è estendibile al caso matriciale (molto più complesso).
6) Tuttavia questo non è il caso più generale che si sa risolvere.
7) "Riduzione di sistemi di equazioni di evoluzione, alle derivate parziali, non lineari, con il metodo della trasformata spettrale", Tesi di laurea, Facoltà di Fisica de La Sapienza, Roma, 1986.
8) L'accoppiamento tra le equazioni come elementi di matrice deve essere necessariamente lineare perché l'equazione di riduzione è lineare.
9) In questo caso una base "naturale" per i calcoli matriciali è quelle delle matrici di Pauli.